Betragsgleichungs-Löser

Absolutwertstriche bedeuten „Abstand von null", und es gibt genau zwei Zahlen, die einen gegebenen positiven Abstand c von null haben: c selbst und -c. Der Ausdruck innerhalb der Striche, ax + b, könnte also entweder c oder -c entsprechen, und jede davon ist eine eigene separate lineare Gleichung, um nach x aufzulösen.

Immer wenn c negativ ist. Ein Absolutwert ist immer null oder positiv, kann also niemals einer negativen Zahl entsprechen; kein Wert von x wird jemals dazu führen, dass |ax + b| negativ herauskommt, was bedeutet, dass es nichts zu lösen gibt.

Wenn c = 0 ist. Die einzige Zahl, deren Abstand von null genau 0 ist, ist die 0 selbst, sodass die Gleichung, anstatt sich in zwei separate Fälle aufzuteilen, auf ax + b = 0 reduziert wird, eine einzige gewöhnliche lineare Gleichung mit einer Lösung.

Setze sie in die ursprüngliche Gleichung anstelle von x ein, werte ax + b aus, bilde den Absolutwert davon und bestätige, dass das Ergebnis c entspricht. Beide Lösungen im Zwei-Lösungen-Fall sollten sich so bestätigen lassen; wenn eine davon nicht passt, ist bei der Algebra etwas schiefgelaufen.

Dann gibt es überhaupt keinen x-Term mehr innerhalb der Striche, ax + b wird einfach zu b, einer Konstante, sodass es eigentlich keine lineare Gleichung in x mehr ist und in dieser Form keine sinnvolle „nach x auflösen"-Antwort hat.

Nein, dies löst speziell die standardmäßige lineare Einzelabsolutwertform |ax + b| = c. Gleichungen mit Absolutwertausdrücken auf beiden Seiten oder Absolutwerten, die innerhalb anderer Absolutwerte verschachtelt sind, benötigen eine andere Fallunterscheidungslogik und werden hier nicht behandelt.