Calculadora de Sucesión Aritmética
FreeCalcula el término n-ésimo y la suma de una secuencia aritmética, con una vista previa de la secuencia, gráfico de barras, y búsqueda inversa para un valor objetivo.
Funciona completamente en tu navegador.
Paso a paso
¿Qué término tiene un valor dado?
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Qué hace esta herramienta
Esta herramienta calcula el término n-ésimo y la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética, directamente en tu navegador, dado el primer término y la diferencia común, con una vista previa de la secuencia, un gráfico de barras y una búsqueda inversa para encontrar qué término tiene un valor dado.
Cómo funciona
Dado un primer término a₁ y una diferencia común d, el término n-ésimo es aₙ = a₁ + (n − 1)d, ya que d se suma una vez menos que la posición del término. La suma de los primeros n términos es Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2, equivalente a Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 una vez conocido aₙ; ambas provienen de emparejar términos desde los extremos opuestos de la secuencia. Para encontrar qué término es igual a un valor objetivo, la fórmula del término n-ésimo se resuelve a la inversa: n = (objetivo − a₁) / d + 1, y el objetivo solo está realmente en la secuencia si eso resulta en un número entero positivo.
Problemas que resuelve
- Encontrar un término específico lejano en una secuencia sin listar cada término a mano.
- Calcular el total de muchos valores espaciados uniformemente, como un plan de ahorro con incrementos fijos.
- Comprobar si un número específico pertenece a una secuencia aritmética dada, y en qué posición.
- Visualizar cómo crece, disminuye o se mantiene plana una secuencia con un gráfico de barras.
Preguntas frecuentes
›¿Qué es una secuencia aritmética?
Es una lista de números donde cada término después del primero se obtiene sumando una cantidad fija, la diferencia común d, al término anterior. Si d es positiva, la secuencia aumenta; si d es negativa, disminuye; y si d es cero, todos los términos son iguales.
›¿Cómo se deriva la fórmula del término n-ésimo?
Comenzando desde a₁, sumas d exactamente (n − 1) veces para llegar al término n-ésimo, ya que el primer término necesita cero sumas, el segundo necesita una, y así sucesivamente. Eso da directamente aₙ = a₁ + (n − 1)d.
›¿Por qué la fórmula de la suma usa n(a₁ + aₙ)/2?
Al emparejar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, cada par suma el mismo total, a₁ + aₙ. Hay n/2 de estos pares, de donde proviene el clásico "truco de Gauss" para sumar una secuencia.
›¿Qué hace "qué término tiene un valor dado"?
Resuelve la fórmula del término n-ésimo a la inversa para n, dado un valor objetivo: n = (objetivo − a₁) / d + 1. Si eso resulta en un número entero positivo, el objetivo está en la secuencia en esa posición; de lo contrario, nunca aparece.
›¿Pueden la diferencia común o el primer término ser negativos o decimales?
Sí, tanto a₁ como d pueden ser cualquier número real, positivo, negativo, cero o decimal; las fórmulas funcionan de la misma manera en cualquier caso.
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