Calculadora de Sequência Aritmética
FreeCalcule o n-ésimo termo e a soma de uma sequência aritmética, com uma prévia da sequência, gráfico de barras, e busca reversa para um valor alvo.
Funciona inteiramente no seu navegador.
Passo a passo
Qual termo tem um valor dado?
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O que esta ferramenta faz
Esta ferramenta calcula o termo n-ésimo e a soma dos primeiros n termos de uma sequência aritmética, diretamente no seu navegador, dados o primeiro termo e a diferença comum, com uma prévia da sequência, um gráfico de barras, e uma busca reversa para encontrar qual termo contém um valor dado.
Como funciona
Dado um primeiro termo a₁ e uma diferença comum d, o termo n-ésimo é aₙ = a₁ + (n − 1)d, já que d é adicionado uma vez a menos que a posição do termo. A soma dos primeiros n termos é Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2, equivalente a Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 uma vez que aₙ é conhecido, ambos vêm do emparelhamento de termos das extremidades opostas da sequência. Para encontrar qual termo é igual a um valor alvo, a fórmula do termo n-ésimo é resolvida ao contrário: n = (alvo − a₁) / d + 1, e o alvo só está de fato na sequência se isso resultar em um número inteiro positivo.
Problemas que resolve
- Encontrar um termo específico distante em uma sequência sem listar cada termo manualmente.
- Calcular o total de muitos valores igualmente espaçados, como um plano de poupança com aumentos fixos.
- Verificar se um número específico pertence a uma sequência aritmética dada, e em qual posição.
- Visualizar como uma sequência cresce, diminui ou permanece estável com um gráfico de barras.
Perguntas frequentes
›O que é uma sequência aritmética?
É uma lista de números onde cada termo após o primeiro é encontrado somando uma quantidade fixa, a diferença comum d, ao termo anterior. Se d for positivo, a sequência aumenta, se d for negativo, diminui, e se d for zero, todo termo é igual.
›Como a fórmula do termo n-ésimo é derivada?
Começando de a₁, você soma d exatamente (n − 1) vezes para chegar ao termo n-ésimo, já que o primeiro termo precisa de zero adições, o segundo precisa de uma, e assim por diante. Isso dá diretamente aₙ = a₁ + (n − 1)d.
›Por que a fórmula da soma usa n(a₁ + aₙ)/2?
Ao emparelhar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante, cada par soma o mesmo total, a₁ + aₙ. Há n/2 desses pares, de onde vem o clássico "truque de Gauss" para somar uma sequência.
›O que faz "qual termo tem um valor dado"?
Resolve a fórmula do termo n-ésimo ao contrário para n, dado um valor alvo: n = (alvo − a₁) / d + 1. Se isso resultar em um número inteiro positivo, o alvo está na sequência nessa posição, caso contrário nunca aparece.
›A diferença comum ou o primeiro termo podem ser negativos ou decimais?
Sim, tanto a₁ quanto d podem ser qualquer número real, positivo, negativo, zero ou decimal, as fórmulas funcionam identicamente independentemente disso.
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