등차수열 계산기
Free등차수열의 n번째 항과 합을 계산하며, 수열 미리보기, 막대 그래프, 목표값에 대한 역방향 조회를 제공합니다.
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단계별
어떤 항이 주어진 값을 갖나요?
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이 도구의 기능
이 도구는 첫째 항과 공차가 주어지면 등차수열의 n번째 항과 처음 n개 항의 합을 브라우저에서 바로 계산하며, 수열 미리보기, 막대 차트, 주어진 값이 어떤 항인지 찾는 역방향 조회 기능도 제공합니다.
작동 방식
첫째 항 a₁과 공차 d가 주어지면, n번째 항은 aₙ = a₁ + (n − 1)d입니다. d는 항의 위치보다 한 번 적게 더해지기 때문입니다. 처음 n개 항의 합은 Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2이며, aₙ을 알면 Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2와 같은데, 둘 다 수열 양 끝에서 항을 짝짓는 데서 나옵니다. 어떤 항이 목표 값과 같은지 찾으려면 n번째 항 공식을 역으로 풉니다: n = (목표 − a₁) / d + 1, 그리고 그 결과가 양의 정수일 때만 목표 값이 실제로 수열에 존재합니다.
해결하는 문제
- 모든 항을 손으로 나열하지 않고 수열 멀리에 있는 특정 항 찾기.
- 고정 증가액이 있는 저축 계획처럼 균등하게 간격을 둔 여러 값의 총합 계산하기.
- 특정 숫자가 주어진 등차수열에 속하는지, 그리고 몇 번째 항인지 확인하기.
- 막대 차트로 수열이 증가하는지, 감소하는지, 일정하게 유지되는지 시각화하기.
자주 묻는 질문
›등차수열이란 무엇인가요?
이는 첫 항 이후의 각 항이 이전 항에 고정된 값(공차 d)을 더해 구해지는 숫자 목록입니다. d가 양수면 수열이 증가하고, d가 음수면 감소하며, d가 0이면 모든 항이 동일합니다.
›n번째 항 공식은 어떻게 유도되나요?
a₁에서 시작해서 n번째 항에 도달하려면 정확히 (n − 1)번 d를 더해야 합니다. 첫째 항은 더하기가 0번 필요하고, 둘째 항은 1번 필요한 식입니다. 이것이 바로 aₙ = a₁ + (n − 1)d를 줍니다.
›왜 합 공식은 n(a₁ + aₙ)/2를 사용하나요?
첫째 항을 마지막 항과, 둘째 항을 뒤에서 둘째 항과 짝짓는 식으로 하면, 각 쌍의 합은 항상 같은 값 a₁ + aₙ이 됩니다. 이러한 쌍이 n/2개 있으며, 이것이 수열을 합산하는 고전적인 "가우스 트릭"의 유래입니다.
›"어떤 항이 주어진 값을 갖나요"는 무엇을 하나요?
목표 값이 주어지면 n번째 항 공식을 역으로 풀어 n을 구합니다: n = (목표 − a₁) / d + 1. 그 결과가 양의 정수이면 목표 값은 해당 위치의 수열에 존재하고, 그렇지 않으면 절대 나타나지 않습니다.
›공차나 첫째 항이 음수나 소수일 수 있나요?
네, a₁과 d 모두 양수, 음수, 0, 소수 등 어떤 실수든 될 수 있으며, 공식은 어느 경우에나 동일하게 작동합니다.
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