等差数列計算機
Free等差数列の第n項と和を計算し、数列プレビュー、棒グラフ、目標値の逆引き検索も提供します。
すべてブラウザ内で動作します。
ステップごと
どの項が与えられた値を持つか?
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このツールの機能
このツールは、初項と公差を与えると、等差数列の第n項と最初のn項の和をブラウザ上で計算し、数列プレビュー、棒グラフ、そして与えられた値がどの項に対応するかを調べる逆引き機能も提供します。
仕組み
初項a₁と公差dが与えられたとき、第n項は aₙ = a₁ + (n − 1)d です。dが加えられる回数は項の位置より1回少ないためです。最初のn項の和は Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2 で、aₙがわかれば Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 と同等になり、どちらも数列の両端から項をペアにすることから導かれます。目標値がどの項に等しいかを求めるには、第n項の式を逆に解きます:n = (目標 − a₁) / d + 1。これが正の整数になった場合にのみ、目標値は実際に数列内に存在します。
解決できる問題
- すべての項を手作業で列挙することなく、数列の遠く先の特定の項を見つける。
- 一定額ずつ増える貯蓄プランのような、等間隔の値の合計を計算する。
- 特定の数値が与えられた等差数列に属するかどうか、およびその位置を確認する。
- 棒グラフで数列が増加、減少、または一定のままかを可視化する。
よくある質問
›等差数列とは何ですか?
これは、最初の項以外の各項が、一定量(公差d)を前の項に加えることで求められる数字の並びです。dが正なら数列は増加し、dが負なら減少し、dがゼロならすべての項が同じになります。
›第n項の式はどのように導かれますか?
a₁から始めて、第n項に到達するにはdをちょうど(n − 1)回加えます。第1項は加算が0回、第2項は1回必要、というように続きます。これにより直接 aₙ = a₁ + (n − 1)d が得られます。
›なぜ和の公式は n(a₁ + aₙ)/2 を使うのですか?
最初の項を最後の項と、2番目の項を最後から2番目の項とペアにする、という具合に続けると、各ペアの合計は同じ値、a₁ + aₙ になります。このようなペアはn/2組あり、これが数列を合計する古典的な「ガウスの裏技」の由来です。
›「どの項が与えられた値を持つか」は何をしますか?
目標値が与えられたとき、第n項の式を逆に解いてnを求めます:n = (目標 − a₁) / d + 1。それが正の整数になれば、目標値はその位置の数列に存在し、そうでなければ決して現れません。
›公差や初項は負の数や小数でもかまいませんか?
はい、a₁とdはどちらも正、負、ゼロ、小数を問わず任意の実数を取ることができ、式は同じように機能します。
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